算数の部屋

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     xやyも自由に使いこなそう。算数も数学も同じだ

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まずは計算

【足し算引き算入門】
 君たちが小学校に入学する。1年生で最初にすることは、数を数えることから始まって、10までの数の足し算、引き算だね。3+7=10、10-3=7みんなやさしくて、たいていの子供たちは算数が大好きだね。チョット復習からやって見よう。
6+4=、2+8=、9+1、10+0、3+7、…
10-9=、10-8、10-7、10-0、…
答は簡単だからここには書かない。最初のつまづきは、和が10を越(こ)えた場合。ここで大事なことは10進法の仕組が分かることだ。10毎にひとまとまりにして新しい位として左に書くこと。3+8=11、この左側の1が10の意味だということを理解することがとても大切なんだ。十を10と書く0の発見は人類の大発明なんだ。また簡単な復習だ。暗算で答えを出してね。
【問1】13+27=、38+27、68+42=、60+58=
繰上りの登場だね。古代ギリシャ人ローマ人10、11、12をⅩ、ⅩⅠ、ⅩⅡなんて書いていたんだけど大きな数の計算は大変だったんでしょうね。
【問2】21-2=、33-14=、35-26=、51-19=
これも簡単でしょう。でも、10進法や繰り下がりの考え方が分からない、子供にとっては結構(けっこう)な難問(なんもん)です。計算問題をたくさん練習するのはこの考え方を理解するためなんだ。だからただ漫然と言われたことだけ作業している子は上達が遅くなるんだ。良い先生はこのポイントを教えることが上手なのですね。1の位どうしは引く数の方が多くて引けないね。だから10の位から10を取ってくる。だから10の位は1だけ減るんだね。借りて来るなんて説明されるけど、借りたものは返さないといけない。借りるんでなくてぶんどってくるんだ。
多分、このページを見ている高学年の皆さんには簡単すぎると思うけど、君たちが下級生のお友達に上手に教えられるかどうか。
ここまでできれば、次はどんどん大きな数の足し算、引き算にチャレンジできるね。2ケタまでは出来るけど5ケタ以上はダメなんてことはありえない。仕組みは全く同じだから。そんな言い訳は無しだ。次の問題。
【問3】10013-14=、2098-99=、9888+13=

足し算引き算の仕組み
次の問題をやって見よう。
【問題4】68+32=、32+68=、18+32+50=、10+8+16+16+20+30=
答は、全部100だね。ここで理解して欲(ほ)しいことは、足し算の答えは足す順番に寄らないことだ。
A+B=B+A、A+B+C=A+(B+C)
こういう時は、数字を使うより文字を使った方が見やすいでしょう。AとかBは色々な数字の代わりだ。どんな数字でもいいんだ。沢山(たくさん)の数を足すときはその順序や組合せを工夫すれば簡単にできるということだ。
ガウス君
【問題5】1から100までの数を足すといくつになりますか。では1から999まで足すといくつですか。
この問題は、ガウスという大数学者の子供時代の逸話(いつわ)が絡(から)んでいます。先生が生徒たちにこの問題を出して、生徒たちが苦労している間にチョト自分の用を足そうと部屋を出ようとしました。その時ガウス少年が「先生出来ました」と言って答えをたちどころに出してしまったということです。ここで答えをSとしましょう。
S=1+2+3+……+100
足し算は、足す順番は関係がなかったですね。だから、
S=100+99+98+……+2+1
この2つのSを加えてごらん。
2×S=(1+100)+(2+99)+……+(99+2)+(100+1)
右辺は()の中はみんな101で、(括弧)の数は全部100個だね。
だから、2×S=101×100、S=101×100÷2=101×50=5050
これを一般化(どんな数にも対応できる形)すると、
【問題】1からNまでの自然数の和はいくつでしょうか。
答は100の代わりのNを入れて、
S=(N+1)×N÷2
となります。N=10なら、S=55、N=999ならS=499500となります。
チョト追加の説明を加えると、普通上の式は、S=N(N+1)/2
文字を使えば、掛算記号は省略でき、割算は「/」で表すのが普通です。
 ところで、上で自然数と言う言葉をつかったね。自然数とは君たちが普段ものを数える時に使う、1、2、3、…という数だ。小学校の1~2年生で習う数はみな自然数だね。問題は0も自然数かどうかだけど、これにはどちらの流儀もあって、話をする前に決めておかないといけない。
【問6】次は簡単な引き算の問題だ。
5-12=、12-25=、0-1=
解答は、出来ません。本当は-7、-13、-1だけど。自然数の範囲では答えは出てこない。自然数を負の数まで拡張したものが整数と言われるものです。温度計では0度より寒いときは氷点下10度なんて言いますね。南極などでは-60℃ぐらいまで寒くなるんだ。
【N進法】数字の表し方は、本当は10進法が総てではないんだ。2進法や16進法等はコンピュータの世界では使われているよ。
【問7】次の数を2進法と16進法で表してごらん。
183、256、4260
例えば、183÷2=91…1、91÷2=45…1、45÷2=22…1、22÷2=11…0、11÷2=5…1、
5÷2=2…1、2÷2=1…0、これを逆に並べると
183=(10110111)2=128+0+32+16+0+4+2+1=183
183÷16=11…7、だから(A7)16=183、ただし、11=A、12=B、13=C、14=D、15=E、16=(10)16となる。
こういう数を表すときに大変便利なのが指数記法という方法だ。例えば、1億と言う数。1の後に0が8個もつく。これを108と表せば大変便利だね。10を8回かけあわせる意味だ。1兆は1012だ。では3億×2兆=3×108×2×1012=6×108+12=6×1020、それでこれどう読むの。10の20乗(じょう)です。でもコップの中にある水に含まれる原子の数や太陽系の中の星の数はこれよりずっと多いね。先ほどの183もこれで表すと分かりやすい。
183=1×102+8×101+3×100
=1×27+0×26+1×25+1×24+0×23+1×22+1×21+1×20

22=2×2=4、21は2が1つしかないから2。20=1は2が一つもないという意味なので分かりにくいけど、指数がマイナスの時を考えるとこう決めておけば良いことが分かる。
例えば、10-3=1÷10÷10÷10=1/1000
【問1解答】40、65、110、118
【問2解答】19、19、9、32
【問3解答】9999、1999、9901

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やっぱり計算

小学校も二年生になると掛算が入ってくる。「ににんがし…」なんて九九の表を全部暗記しないといけない。
ここで自分でも作れる便利な九九の表を紹介しよう。
九九の表
まず、第一段目に1から9までの数をならべるよ。第二段目は2、4、6、…、18と書く。これで準備完了だ。第三段目は、第一段目を第二段目をくわえて、1+2=3、2+4=6、…、9+18=27とやてって完成だ。二段目も一段目と一段目を加えているんだ。これを続けて九段目は八段目と一段目を加えると良い。こうして表が出来上がる。さあ、表が出来上がった。どうしてこんなことが可能なんでしょう。掛算の法則に分配則というのがある。交換則というのもあります。式で書くとこうです。
          交換則;A×B=B×A           分配則; (A+B)×C=A×C+B×C、C×(A+B)=A×C+B×C
交換則はすぐわかる。「4×6=24、しろくにじゅうし」と「6×4=24、ろくしにじゅうし」は同じだね。上の計算は分配則を使えばすぐわかる。
九九の表を毎日暗記させられるのは結構大変。でも忘れても大丈夫、例えば6×8を忘れても5×8を覚(おぼ)えていれば、(5+1)×8=40+8で、「ごはしじゅう」の「いんはちがはち」を足して、「ろくはしじゅうはち」が簡単に思い出せます。でも、九九の表は最終的には暗記しないと2ケタや3ケタの掛算で苦労するよ。
二けたの掛算
二けた以上の掛算も10のまとまりを使って、分配則を適用しているのだ。
98×76=98×(6+70)=588+6860、分配則をさらに適用すると、
98×76=98×(6+70)=98×6+98×70=(8+90)×6+(8+90)×70
=8×6+90×6+8×70+90×70=48+540+560+6300=7448
2段計算を4段でやる裏技(うらわざ)ですが、こんなこと学校でやってもだれもほめてくれないね。
ところで、さっき出した九九の表をもう一度ながめて欲しい。対角線に沿って、数字が1、4、9、16、25、36、49、64、81となっているね。同じ数を掛け合わせた積(せき)を平方数と呼んでいる。一辺の長さが1、2、3…の正方形の面積が1、4、9…となるね。
また、平方数に関してはピタゴラスの定理という有名な定理があるんだ。これについては別の項でも説明がある。直角三角形の直角をはさむ二辺をA、B、斜辺をCとする時、
A2+B2=C2という関係がある。たまたまA=3、B=4、C=5の時、この定理にぴったり当てはまる。
この表の中で上手く行くのは3、4、5の時だけで、
32+42=52=25だね。もとと大きな自然数ならあるらしいが探し出すことも難しいね。この3、4、5の直角三角形は古代エジプトのピラミッドの建設にも大いに利用されたようです。
 さらに、この表は面白いことに対角線に対して対称で、縦と横を入れかえても変わらず、九九の表を縦に読んでも同じように九九の練習ができる。インドの子供たちは計算が得意でこの表を100×100まで拡張して諳(そら)んじているらしい。
インド人とピラミッド

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まだまだ計算

さあ、君たち算数計算の力もずいぶん上がったでしょう。足し算、引き算、掛算、割算これをまとめて四則計算と言うんだ。四則とは4つの法則(ほうそく)という意味だね。足し算の答えを和(わ)、引き算の答えを差(さ)、掛算の答えを積(せき)、割算の答えを商(しょう)という。4つ合わせて和差積商(わさせきしょう)。忍者の呪文(じゅもん)みたい。四則計算、難しくいうと四則演算。記号を使うと下の4つにまとめられてしまいます。
          ①加算(かさん):A+B=C、CをAとBの和という。
          ②減算(げんざん):A-B=C、CをAとBの差という。
          ③乗算(じょうざん):A×B=C、CをAとBの積という。
          ④除算(じょさん):A÷B=C、CをAとBの商という。
和差積商
あれ~。割算では、余りがあったよね。そう、君たちが今まで教わってきた計算はすべて自然数を対象にしているんだ。自然数とは、クラスの人数とか、男の子の数とは、鉛筆の本数とかだ。どれも「ひとつ、ふたつ、…」と数えられるでしょう。でも、ジュースを3人で分ける。長いリボンを3人で分ける。線の長さを計る。当然、少数や分数が出て来るね。だから四則演算を少数や分数にも使えるように修行(しゅぎょう)しないといけない。
【分数の計算】
【問題】大きな丸いケーキが1つあります。これを3人で分けると一人いくつづつでしょうか。
1÷3=0…1、一人0個であまりは1個。確かに一人で1個はもらえません。だけど、食べるのを我慢(がまん)するのでなく、包丁を持ってきて3等分して食べますよね。つまり、
1÷3=1/3です。「/」は学校では横棒(よこぼう)ですが、パソコンでは「/」を使います。分数は、割算の商と全く同じですね。つまり、A÷B=A/Bとなっています。
分数の計算では通分(つう)と約分(やくぶん)の考えがとても重要だね。まず、通分を見て見よう。一つの式の中では、掛算と割算は足算と引算よりも先にやることが約束だったね。
1/3+1/2=1÷3+1÷2
このままでは、足せないね。割算にも分配則が使えるんだ。分配則は、
(A+B)÷C=(A+B)/C=A÷C+B÷C=A/C+B/C
1/3+1/2=1÷3+1÷2=2÷6+3÷6=(2+3)÷6=5÷6=5/6
分母を同じにしないと、足し算も引算も出来ないですね。
通分
だから、分数の計算では、足算(たしざん)、引算(ひきざん)よりも掛算(かけざん)、割算(わりざん)の方がずっと簡単なんだ。自然数だけの四則計算と逆になるんだね。
ところで、分数を考えると余りは無くなる。そして掛算と割算は逆演算(ぎゃくえんざん)あるいは逆操作(ぎゃくそうさ)という関係(かんけい)になっています。つまり、
ある数に5で割る(÷)ということは、ある数に(1/5)を掛けることと同じと言うこと。つまり、A÷B=A×(1/B)、A×B=A÷(1/B)
Bと(1/B)の関係を逆数と言います。(5/4)の逆数は(4/5)です。それから、どうして約分がいるかというと、A÷B=Cのときに同じCに対してAとBは色々な値を取ることができますね。だからAとBが一番簡単になるようにするためです。例えば、
1/3=2/6=123/369=4000/12000=…
この場合、1/3が一番簡単な形ですね。このような形で表された分数を既約分数と言います。分数の掛算、割算が混合している時は、全部掛算に直して計算すると間違いが少ないですね。逆数が大活躍(だいかつやく)です。

【少数の計算】
分数の計算ができたら、後残りは少数の計算です。多分、分数と比べるそんなに難しいとは感じないでしょう。というのも、普段の生活にももう取り入れられているからでしょう。1リットルの水は、10デシリットル、1デシリットルの水は0.1リットル。
1メートル23cmのリボンは、1.23mです。1mは100cmです。1cmは0.01mです。量を計る単位を変えると、必ず少数が顔を出します。
足算、引算は問題ないだろう。問題は掛算、割算だね。まずは、小数点を外して計算して、後から小数点の位置を考えるのが一番簡単かもしれません。
【問1】9.8×7.6
まず、98×76と計算すると、7448となる。この答えは、10×8よりは小さくて、9×7より大きいことは分かるね。つまり、80~72、どちらにしても小数点より左側は2ケタだね。つまり、答は74.48だと分かる。
もう少し、複雑な場合を考えて、10の指数について復習して見よう。例えば、105とは1の後に0が5個ついた数。100000、つまり10万だ。103=1000、102=100、101=10、最後に100=1、この1が大事だ。マイナスの指数は、逆数の意味だ。
0.01=1/100=10-2、0.00001=1/100000=10-5
【問2】0.035×0.00047=3.5×10-2×4.7×10-4=16.45×10-6
35×47=1645だから、3.5×4.7は16.45、
少数で無い部分を1ケタにしておけば、かけたものは1ケタか2ケタのどちらかだ。
2×3は1ケタ。6×3は2けた。
【問3】3.85÷4.7
これは、38.5÷47としても同じだね。38は47では割れないから0、385なら47で割れる。だから、商は小数第一位から始まる。答えは、0.8191489…
少数の割算は、少数点より右も同じように計算するけど、問題はいつまでたっても割り切れないことが多いのだ。掛算の場合もかけると答えの桁数が増えてしまってゴチャ、ゴチャするでしょう。それに実際問題としてあなた物差しや秤(はかり)を使って計る時、1.3546949494…cmなんて計れるはずもない。だから、たいていはcmやmmまで計って残りはバッサリ無視してしまう。例えば、少数第二位まで求めよなどと。第三位目が5より大きければ(上の場合0.82)切り上げ、4よりも少なければ切り捨てとするのが四捨五入というやり方だ。他に少しでも残りがあれば加算する切り上げと、残りをバッサリ捨ててしまう切り捨てという方法もある。この3つの方法のどれを取るかは現場の要請で判断するんだ。
循環小数
【問題4】次の小数を分数であらわしてください。
          ①0.3333…
          ②0.9999…
点々(…)は、無限に続くことを示しています。
①×10=3.3333…、この両辺から①を引くと①×9=3だから①=3/9=1/3
同じように②×10=99999…、この両辺から②を引くと②×9=9だから②=1
0.999…は1と同じなのですね。小学校までは、数はこれですべてです。分数まで使えばほとんどの数は表せそうです。しかし、本当は分数で表せない数もあって、無理数と呼ばれています。例えば、面積が2m2の正方形の一辺は、√2mです。直径が1mの円の面積はπm2(3.141592…m2)となり、やはり無理数です。分数で表せる数を有理数とも言います。無理数とは分数で表すことが無理という意味ですね。無理数については別項で説明があります。

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足し算、引き算

まず始めに肩慣(かたな)らし。簡単な足し算、引き算をやって見よう。足し算は繰(くり)上りのやり方、引き算は繰(くり)下がりのやり方を覚(おぼ)えるのが一番大事だね。たくさん問題を解くよりも答えが分かっている問題を繰り返し簡単にできるように練習しよう。下に練習問題を2問出します。野球の選手が素振りするみたいに、サッカーの選手がドリブルの練習をするみたいに毎日練習して見よう。
864197532
123456789

370292579
246835790

もっと練習するには、下の四則計算練習をクリックしてね。
四則計算練習

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パズルで楽しむ分数計算

村の長老
ここに紹介するのは昔から伝わる面白いお話。分数が関係するので自分でしっかり分かるように計算してね。どこの国の話かは知らないが、ある村の長者(お金持ち)が亡くなり、3人の息子に遺言(ゆいごん)を残した。どこか遊牧民の国みたいだけど。財産として残されたのは馬が17頭だった。
「長男は全体の1/2を取れ。次男は全体の1/3を取れ。三男は全体の1/9をとれ。」
さあ、兄弟たちは困った。17頭の1/2だって、それは8.5頭だ。馬を半分にきることなんてできないし。そこで、兄弟たちは村の知恵者の長老に相談に行った。
「よし、分かった。まずわしの馬を1頭貸してやろう。そうすれば馬の数はどうなる。」
「馬は、全部で18頭。長男は1/2だから9頭、次男は6頭、三男は2頭、合わせて全部で17頭だ。残った1頭は、もともとわしの物だから返してもらうよ。」
という訳で、めでたしめでたし。さすが長老だね。
でも、この話どこかおかしいでしょう。
遺言どおりだったら、長男は17×(1/2)=8(1/2)、次男は17×(1/3)=5(2/3)、三男は17×(1/9)=1(8/9)でなければならないのです。でも、それではうまく分けられないよね。それに3人の取り分を足してみてごらん。(1/2)+(1/3)+(1/9)=(9+6+2)/18=17/18で初めから余りがあるわけです。 面白い話ですね。

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文章題へのチャレンジ

目次
1【まずは質問の意味をよく読んで】 2.比とは何か 3.植木算 4.還元(かんげん)算
5.数当てクイズ 6.通過算 7.和差算 8.鶴亀算
9.流水算10.年齢算仕事算

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【まずは質問の意味をよく読んで】

計算の練習をするのは、色々な問題を解けるようにするためだ。聞かれていないことを答えても0点だから気をつけよう。
【単位には要注意だ】
足算と引算は必ず同じ単位だ。単位が違うものは絶対に足したり引いたり出来ないぞ。次の問題をやってみよう。
【問1】1.2mのひもから、70cm切り取りました。残りは何mでしょうか。
【問2】2700mの道を1.4km走りました。残りは何mでしょうか。
【問3】鉄の棒が2本あります。1本は1m、もう1本は1kgです。2本合わせた重さと長さはいくらでしょうか。
【問1解答】mで答えないといけないので、mに直してやるのが賢(かしこ)いやり方だね。
  1.2-0.7=0.5 答え0.5m
となる。もちろん、120-70=50、答0.5m
としても良い。しかし、50cmでは0点だ。気をつけよう。
【問2】これもmで答えないといけないので、mに直してやる。
 2700-1400=1300 答え1300m
質問が残りはいくらでしょう。これなら2.7-1.4=1.3 答え1.3kmも正解だ。
【問3】長さと重さとか、体積と面積等性質の異なったものは絶対に足したり引いたり出来ない。この問題の答えは出来ませんが正解。
単位も大事だ
足算と引算は単位が異なったものは絶対に足したり引いたりは出来ない。でも、掛算と割算の単位は違っていても大丈夫。というより積や商は必ず単位が違うんだ。掛算や割算では単位も一緒に掛算、割算するんだ。
          ①A×B=C
          ②A÷B=D
掛算①では、Cの単位はA単位とBの単位の掛算。
割算②では、Dの単位はA単位とBの単位の割算なのです。
【問題4】毎時5kmで3時間歩くと進んだ距離は何kmですか。
【問題4解答】5km/時×3時間=15km
km/時は、kmを時間で割ったものですね。
【問題5】127個のお菓子を27人で分けると一人当たり何個ですか。
127個÷27人=4個/人余り19個
ここで商の単位は4個/人、つまり個数÷人数、余りの単位は個数で異なっています。
【問題6】一辺が5cmの正方形の面積は
【問題6解答】5cm×5cm=25cm2
cm2はcm×cmの意味です。cm2は面積の単位、cmは長さの単位。全く別の単位ですね。
【問題7】15kmの道を6時間かけて歩いた。平均の時速はいくらですか。
【問題7解答】15km÷6時間=2.5km/時
距離を時間で割ると速さの単位になります。
文章題へのチャレンジ

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比とは何か

みなさんは比という言葉を聞いたことがありますか。あなたのクラスの男子生徒16人、女子生徒15人だったら、男女の比は16:15。16:15=16/15?1.06667を比の値と言います。A:B=A/Bとなります。比の値は、Bに対するAの割合です。AとBの数字は変化しても、比の値は同じになります。例えば、
100:50=46:23=2000:1000=2:1=2/1=2
A:B=C:D=A/B=C/D
最後の2つの両辺にB×DをかけるとAD=BC
外側の2つを掛け合わせたものと、内側の2つを掛け合わせたものが等しいのだ。これを外項の積は内項の積に等しい言ったりする。
比
【問題】3匹で6gのカブトムシは12匹で何グラムか。
【解答】3匹:12匹=6g:xg→3x=12×6→24g、24g答えだね。この問題を
3匹:6g=12匹:x gとやっても同じだ。単位はつけなくてもいい。
今度は、少し難しい問題だ。これができれば算数博士の一歩手前だ。

【問題】ジグムさん(A)とジムク(B)さんは、貯金をしています。AとBの金額の比は、
3対1です。AがBに840円渡すと二人の金額の比は8:5に変(か)わります。二人の貯金の金額を求めてください。
【解答】まずは、文章をそのまま比の式で表してみよう。
          A:B=3:1…①
          (A-840):(B+840)=8:5…②
①からA/B=3だからA=3B(=3×B)
次に②だけど、外側の積と内側の積が等しいことを利用して書き直すよ。
          5(A-840)=8(B+840)
          5(3B-840)=8(B+840)
(15-8)B=(8+5)×840、7B=13×840、B=13×120 (840は7で割れるのです)
だから、B=1560、A=3×1560=4680
検算してみよう。Aは840渡すと4680-840=3840、Bは、840円もらうと、1560+840=2400、8:5=1.6だけど、3840/2400=1.6でぴったり合うだろ。これも方程式の威力(いりょく)だね。方程式はまだ分かってない数を文字で表すのだけど、別にxやyを使わなくてもいいんだ。甲とか乙みたいな漢字でもね。
文章題へのチャレンジ

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植木算

昔から有名な算数の問題に植木算というのがある。いきなり、計算しようとする前に、チョット考える習慣をつけるのにいい訓練になるね。まずは、具体的な問題をやって見よう。
【問題1】
 48mの道に沿(そ)って、端(はし)から端まで8mおきに桜の木を植えます。桜の木は全部で何本植えるのでしょう。4mおきにしたら何本植えることになりますか。
【考え方】
 一番ダメな考え方。48÷8=6だから6本だ。できた。できた。チョット待って下さい。48mおきなら何本。48÷48=1だから1本?? 両端に植えるのだから2本だね。
植木算では、並べる物の数と並べる間隔(かんかく)の数が必ずしも等しくないことがポイントだ。次のように考えればよい。
植木算
          ①端から端まで植える時;木の数=間の数+1
          ②両端には植えない時; 木の数=間の数-1
          ③端が無い時(円周状など); 木の数=間の数
問題は、いつも木とは限(かぎ)らないし、間についても違った表し方になっているのでよく気を付けてね。
【問題2】
あるマンションで階段(かいだんを)を上(のぼ)るのに、1階から5階まで上ると48秒かかります。1階から10階まで上るには何秒かかりますか。
【解答】
1階から5階までは階段を5-1で4階分登らねばならない。1階分減るんだ。1階から2階まででは1回登るんだから。だから、48÷4=12で12秒/階となる。割算したら単位も割算する。1階から10階では、同じように9階分登るので
12×9=108秒となる。
文章題へのチャレンジ

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天秤算

天秤を担いでいるオジサン 天秤ばかり 天秤(てんびん)とは何だかわかるかな。重さを計る秤(はかり)の一種で薬剤師(やくざいし)さんが使っていいたり、化学実験室にもあるよ。てんびん棒と言ってものを担(かつ)ぐのに使われる棒(ぼう)のことも言うね。ここでは、てんびんも含めて梃子(てこ)の勉強をしよう。テコについては理科の方で習うかもしれないが、算数のいい勉強にもなるんだ。

テコの説明図  まず、(1)を見てごらん。梃子(てこ)には3つの大事な点がある。支点、力点、作用点だ。左側の作用点には動かしたいもの(調べたいもの)をつける(この場合はぶら下げるのか)。力点にはあなたが力を加えるか、重さの分かっている分銅(ふんどう)等をぶら下げます。支点は真ん中の動かない点。でも、支点は両方の重さを支えているので大変ですね。
 支点というのは算数の=(イコール)みたいなものです。釣り合っている天秤の両側の同じ重さのものをのせても釣(つ)り合っていますね。同じ重さだけ引いてやっても釣り合っていますね。両側の重さを同時に2倍、3倍しても、1/2、1/3としても釣り合いは保(たも)たれていますね。
次に、(2)を見て下さい。この梃子では支点は一番左側です。あなたは100kgの重りを持ち上げることができますか。ここで、あなたが力を入れなければ、この梃子は支点を中心に右回り(時計回り)の回ってしまいますね。だからあなた上向きに力を加えて、左回り(反時計回り)の力を加えてやらなければいけません。どれだけの力がいりますか。100kgなんて力は無いですね。この時の釣り合いを考えるには、モーメントというものを考えなければいけません。モーメントとは、
      モーメント=力(重さ)×腕の長さ
で表されます。右回りの回す力(モーメント)が左回りのモーメントと釣り合えは、梃子は釣り合い、それ以上の力をいれれば、重りを動かすことができます。あなたが加えなければならない力をx kgとして見ましょう。
      左回りのモーメント=右回りのモーメント
ですから、式は次の通りです。
      (1+9)×x =100×1
      10x=100
      x=10
あなたは、10kg の力を入れれば、この100kgの重りを動かすことができます。つまり、10倍もの重さを持ち上げることが出来るのです。ずいぶん得をした気持ちになりますか。でも、よく絵を見て下さい。あなたは、重りが動く距離の10倍の長さを動かしているのです。100kgのものを0.1m動かすのと10kg のものを1m動かす仕事の量は同じなのです。でも、100kgものものを動かせる人はそんなにたくさんはいませんね。

次に(3)を見て下さい。今度は、あなたは何kgの力を加えればいいでしょう。先ほどと同じに、右回りのモーメント=左回りのモーメントを求めると、
      3x=9×5=45
      x=15
15kgと求まります。でも今度は、梃子の重さも考えないといけません。テコの重さは重心に全部の重さがかかるとして、重心は支点から左に3mとわかります。モーメントの釣り合いを求めると、
3x=3×40+9×5、   3x=165   x=55
55kgとなります。こんなに重たい道具では使い物になりませんね。一般にはテコの重さはとても軽くて無視できるものとするという問題が多いですね。
文章題へのチャレンジ

算数の部屋

方程式の解き方

一休さん 小学校の算数の文章題は、方程式を使うとたいていはすごく簡単にスラスラ解けてしまいます。方程式は中学校から習うことになっていますから、先生によっては使うこと禁止することもあります。「トンチの一休さん」の話にあるでしょう。和尚(おしょう)さんが水あめをこっそりなめていて、小坊主たちに見つかると、「これは、大人には薬(くすり)だけど、子供には毒(どく)だから絶対に食べてはいけない。」と言いましたね。先生も簡単に解かれたら困るのでしょうか。
例題をもとにして説明しましょう。

文章題へのチャレンジ
算数の部屋

還元(かんげん)算

計算の流れが示されていて、答えの方から逆に計算して元の数を求める問題だよ。元の数をxとして、流れの通りに式を書いてごらん。還元とはもとに戻すという意味。
【問題1】ある数を3倍して5を加えたら29になりました。ある数はいくつでしょう。
【問題2】ある数の半分と3分の1を加えて、6倍したら5になりました。ある数はいくつでしょうか。
【解答】どちらもある数をxとします。問題1は、
           3x+5=29 ----(1)
です。3xは3かけるxのことでしたね。「=」のマークは天秤と同じ、=の関係を壊(こわ)さないように式を変形していくと自動的にxが出てきます。すなわち、
           3x=24 ((1)の両辺から5を引いた。5が邪魔(じゃま)でしょう)
          x=8  (両辺を3で割った。3は余計(よけい)ですね。)
簡単に8がでますね。では、先生が「だめだよ。方程式は習ってないでしょう。」なんて言う分からず屋だったらどうしましょう。心配ありません。答えはもう分かっています。上で筆算(ひっさん)をしたところだけ抜き出して書けばOKです。
   29-5=24、 24÷3=8、答え8 です。
問題2は、式にすると、
           (1/2x+1/3x)×6=5----(2)
です。/は割り算の意味です。パソコンの画面では分数はうまく表せないので我慢して下さい(行が2行になってしまうため)。分数の足し算は分母をそろえ(通分)なければなりませんね。      (2)は、(1/2+1/3)x=5/6 (両辺を邪魔(じゃま)な6で割った。かっことxの間の×は省略できる)
1/2+1/3=3/6+2/6=5/6 だから、(2)は
       5/6x=5/6
       x=5/6×6/5=1 (5/6が邪魔だから両辺に逆数の6/5をかける)
答えは1ですね。先生が先の和尚さんみたいな人だったら、
         1/2+1/3=3/6+2/6=5/6、5/6×6/5=1 答え1 と書いておけば満点をくれるでしょう。

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算数の部屋

数当てクイズ

 還元(かんげん)算なんて、名前はいかめしいね。ようするに数当てゲームだ。簡単にできるようになるまで、たくさん練習してみよう。
0.例題
ある数に52を足(た)して、それを3倍して50を引いたら答えは250 になりました。もとのある数は何でしょう。
 さあ、まず方程式をつくるぞ。ある数をxとする。上の文章を式で書いてみよう。
まず、x+52。これを3倍する。かける(×)時は、( )がいるね。
            (x+52)×3-50=250
もう少し格好(かっこう)良くすると、
            3(x+52)-50=250…(1)  
3と( )の間には、×があるが省略(しょうりゃく)する。さあ、これを解けば答えがx=〇として、自然に求まるのが方程式のいいとこ。後(あと)は、方程式のルールを守ってあわてずゆっくりとかたづける。左にあるゴチャゴチャした数を少しずつ右に移(うつ)して行くんだ。まず、(1)の両辺に50ずつ足してやる。
            3(x+52)-50+50=250+50
どうして、50足したか分かるだろう。こういう操作(そうさ)を移項(いこう)とよぶ。
            3(x+52)=300
両辺を3で割(わ)ってやる。これも移項というのだ。
            3(x+52)÷3=300÷3
            x+52=100
もう、( )はいらない。さあ、もう一息(いき)。
両辺から、52を引いてやる。
            x+52-52=100-52
            x=48 これでおしまい。答え合わせは自分ですること。
x=48を元の式(1)に入れる。
             (48+52)×3-50=100×3-50=300-50=250
ほら、ちゃんと合っているだろう。検算(けんざん)して合っていれば、もう解答(かいとう)を見なくてもいいだろう。
 左にある邪魔(じゃま)な数を右に持ってくるのを移項(いこう)というけど、足し算は引き算に、引き算は足し算にかわる。掛算(かけざん)は割算(わりざん)に、割算は掛算にかわるけど、その理由ももう分かるでしょう。分数の時は移項すると逆数(ぎゃくすう)になるのです。逆数とは、4/5と5/4のような関係ですよ。

それでは、練習を始めます。
1. ある数に48を足(た)して、それを7倍して200を引いたら答えは500 になりました。もとのある数は何でしょう。

2. ある数に48を足(た)して、それを10で割って、1を足したら答えは11 になりました。もとのある数は何でしょう。

3.ある数を3倍して9を足し、また3倍して10を加えると100になりました。もとの数は何でしょう。

4.ある数から9を引いて10で割り、1を加えると100になりました。ある数はいくつですか。

5.ある数から1/3を引いて3/2をかけたら、1になりました。ある数はいくつですか。

6.ある数に5をくわえ、それにある数の2倍を加えたら20になりました。ある数とはいくつでしょうか。

7.100からある数を引いて4倍したら、また100になりました。ある数はいくつですか。

8.ある数に1/8を加えて、1を引いたら0になってしまいました。ある数はいくつでしょうか。

9.ある数の3倍からある数の2倍を引いたら7になりました。ある数はいくつ。

10.ある数から1/3を引いて6倍して1を加えたら7になりました。ある数はいくつでしょうか。

さあ、全部できましたか。最初はくどいようでもていねいに手順を追って式を書いていくことがコツです。飛(と)ばして頭(あたま)の中で計算すると間違いやすくなります。たくさん、たくさん書くことが上達の近道ですよ。検算して合っていれば答え合わせはいらないのですが、いちおう1~10の答えをのせておきます。
1→52、2→52、3→7、4→999、5→1、6→5、7→75、8→7/8、9→7、10→1/2
です。分数はパソコンでは特別なプログラムを使わないと学校でやっているような表示は出来ません。7/8は8分の7の意味です。慣(な)れて下さい。

文章題へのチャレンジ
算数の部屋

通過算

列車みたいに長い物が、トンネルや鉄橋等を走り抜ける。この時のかかる時間を求めたり、列車の長さを推定したりするのが通過算と言うらしいね。速さ×時間=進んだ距離を忘れないようにね。
鉄橋通過

【問題1】
長さ300mの列車が、秒速20mで走っています。この列車が自分の前を通り過ぎるのに何秒かかるでしょう。
解答;
列車の先頭が通り過ぎ、その後列車の最後部が通り過ぎる。あなたは、その列車の長さだけ列車の前にいて列車を見ているんですね。では、その時間をxとすると、簡単ですね。
20×x=300、x=15秒、これが答えです。答;15秒
【問題2】
列車が、秒速24mで走っています。この列車が、電柱の前を通り過ぎるのに5秒かかりました。列車の長さは何mでしょう。
解答;
列車が電柱を通り過ぎるには、列車の長さと同じ距離だけは知らないといけないですね。
24×5=120、 答120m、速さ×時間=進んだ距離だね。
【問題3】
長さ50mの列車が秒速20mで走っています。この列車が、長さ430mの鉄橋をわたり始めてからわたり終えるまで何秒かかるでしょう。
解答;
列車が渡り終えるためには、鉄橋の長さに自分の長さを加えた分を走らねばなりませんね。
かかる時間をxとすると、
20x=430+50、20x=480、x=24、 答24秒
【問題4】 長さ75mの列車が、長さ339mのトンネルに完全に隠れている時間が11秒でした。 列車の速さは時速何kmでしょう。
解答;
チョット絵を描いてみれば分かるかも。列車はトンネルに入って、75m進まないと全部見えなくならないね。頭がトンネルに入ってもお尻が見えるからね。でもトンネルから出る時は頭がでればお終い。結局トンネルの長さより列車の長さだけ短い距離で済(す)むね。
速さは始め秒速で出さないといけない。長さの単位もmだね。x m/秒とすると、
11x=339-75、11x=264、x=24、24m/秒ということは、
1時間では、24m/秒1/1000m/km×60秒/分×60分/時=86.4km/時
【問題5】
全長240m、時速144km/hの列車が走っている。この列車が長さ1400mの鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに何秒かかるか。
解答;
これも走り終えるまでとなっており、列車の長さだけ走らねばならない距離が増えるね。列車の速さを秒速に直さないといけない。
144km/時×1000m/km×(1/60)時/分×(1/60)分/秒=40m/秒
40x=240+1400、 40x=1640、 x=41、答;41秒
【問題6】
長さ230mの列車が秒速15mで上り方向に、長さ250mの列車が秒速17mで下り方向に進んでいます。 お互いの列車が出会ってから、すれ違い終わるまでに何秒かかるでしょう。
解答;
お互い列車は、出会ってからすれ違い終わるまで走らねばならない。列車の長さの和だね。また速度も足し算だ。x秒ですれ違うとすると、
(15+17)x=230+250、 32x=480、x=15、答15秒

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算数の部屋

和差算

囲碁

まず始めに問題を出します。
【問題】白い碁石と黒い碁石が合わせて、80個あります。白と黒の碁石の数の差は10個です。白と黒の碁石はそれぞれ何個ずつあるのでしょう。
【解答】さあ、どうしましょう。このような問題を和差算と言います。和が80,差が10、では、2つのもとの数は。これが最も単純な元の形です。普通このような問題は、線分図と言う図を描(か)けば簡単に解決します。でも、ここではもっと汎用的(はんようてき)な方法を使いましょう。大人ならこうします。
 まず、白石、黒石の数をそれぞれ、x、yとします。するとこの問題は、
           x+y=80   (1)
           x-y=10   (2)
分からない数をx、y、z 等として問題を書き換えます。(1)(2)のような式を方程式と言います。(1)、(2)の組合せから、x、yを求めればそれが答えです。数式では=の両側(右と左)が等しいことを表わしてます。両側が等しい二つの式をお互いに足しても引いても=は成り立ちますね。まずは、(1)、(2)を足してみます。
           (x+y)+(x-y)=80+10
左辺(=の左側)は、yが消えて、2×x=90となり、両辺を2で割って、x=45 が求まります。この時、2×xを2x、a×b=abと書くことも覚(おぼ)えておいて下さい。xが求まれば、これを(1)、(2)のどちらかに入れてy=35が求まります。 x、yを使う利点はさらに、次のような場合を考えれば分かります。 問題→和がP、差がQの時、元の数はいくつでしょう。
           x+y=P-------(1)
           x-y=Q------(2)
(1)と(2)を足すと 2x=P+Qだから、
           x=(P+Q)/2------ (3)
(1)から(2)を引くと、2y=P-Qだから、、
          y=(P-Q)/2-----(4)
ここで、/の記号は、割り算を表わすことを理解して下さい。パソコンなどでは÷の記号は使いにくので、「÷」の代わりに「/」が良く使われます。 これを見れば、和差算の答えは、和と差を足して2で割ると、大きい方の数、和と差を引いて2で割ると小さい方の数が分かります。これをパソコンにプログラムしておいて、PとQに色々な数字を入れると和差算の答えはすぐに求められます。

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算数の部屋

鶴亀算

方程式

昔から有名な鶴亀算(つるかめざん)です。
【問題】ツルとカメが合わせて13匹います。足の数は合わせて42本です。ツルとカメはそれぞれ何匹ずついるのでしょうか。
【解答】この問題では、定石(決まったやり方)があります。まず分かっている13匹をツルかカメのどちらかに決めてしまうのです。すると足の数は、全部ツルなら13×2=26、カメなら13×4=52、答えは26本から52本の間にありますね。42-26=16、52-42=10、全部ツルとすると足が16本不足して、全部カメだとすると足は10本余ります。ツルをカメと入れかえると1回ごとに足は2本ずつ増え、カメとツルを入れかえると足は2本ずつ減っていきます。これを見ると答えは、カメが8匹(16÷2)、ツルが5匹(10÷2)だとわかります。
次に、ツルの数をx、カメの数をyとしてみます。すると問題は次のように翻訳(ほんやく)されます。そうです。方程式とは日本語の文章を数学の言葉に置き換えるだけでできてしまいます。
           x+y=13-------(1)
           2x+4y=42-----(2)
さて、(1)式の両辺を4倍して、それから(2)式を引いてみましょう。
     (4x-2x)+(4y-4y)=13×4-42----(3)
これを整理すると、2x=10、x=5
また、同じように(2)式から(1)式の2倍を引いてみましょう。
     (2x-2x)+(4y-2y)=42-13×2----(4)
これを整理すると、2y=16、y=8
答えは、ツルが5匹、カメが8匹と分かりますね。(3)か(4)でxまたはyが求まったら、それを(1)式の入れて、もう一方を求める方が楽でしょう(これを代入という)。
  どうでしょう。問題の文章から(1)(2)の式を作ることはそんなに難しくないでしょう。(3)(4)式を良く見て下さい。(3)は全部カメだとして実際の足の数の違いからツルの数を求めていることになりますし、(4)は全部ツルだとしてカメの数を求めています。最初にしたこととまったく同じですね。でも上の方法では、途中でどっちがツルでどっちがカメか混乱(こんらん)してまちがいやすいですね。
ちょと待って、つるの数がx匹とすると、カメの数は13-xだね。
          2x+4(13-x)=42…(2)’
そうすれば、-2x+4×13=42
あれ!頭にマイナス。気にしないで。こういう時は、xを右辺に持って行ってしまうんだ。
          52-42=2x、 2x=10、x(ツルの数)は5匹だね。カメは13-5=8、8匹だね。こうすれば、x、yと2つも分からないものを使うより、xだけの方が分かりやすいかも。未知数が2つ以上ある方程式を連立方程式というんだね。連立方程式を解く時は、結局未知数を1個まで減らさないと解けない。やってることはどれも同じだね。

【問題】金貨が100枚あります。ところがこの中にニセモノが混じっています。本物は重さが1枚48gありますが、ニセモノは39gしかありません。100枚の重さは4368gありました。さあ、ニセモノの金貨は何枚混じっているのでしょうか。推定して見てください。
 これも鶴亀算だということが分かりますか。ツルとカメでは、あまり現実の問題には見えませんがかなり本物臭くなったでしょう。化石の年代等を測定する炭素原子同位体を用いる方法では、炭素原子の1モル(化学でも質量分析に用いる単位)が12gのものと13gのものが混在(こんざい)していることを利用して、その比率で当時の環境などを推定しています。金貨のニセモノ探(さが)しと良く似てますね。
【解答】これも本物の枚数をx、ニセモノの枚数をyとして、文章を式で表します。
          x+y=100----(1)
       48x+39y=4368 ----(2)
(1)を48倍して、これから(2)を引けば、
       (48x-48x)+(48y-39y)=100×48-4368
これを整理すると、9y=432、y=432÷9=48
これを(1)に代入すると、x=52
つまり、本物が52枚、48枚にせものです。

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算数の部屋

流水算

水が流れている所を船が進んでいる問題を、流水算といいます。たいそうな名前はついていますが、考え方は単純でわかりやすいです。 流れに逆らって進むときは、川の流れのぶん船は遅くなりますし、流れに沿って進むときは、川の流れのぶん船は速くなります。 川の流れの速さにだけ気をつければ、普通の速さの計算問題ととらえて大丈夫です。しかし、実際には船は岩にぶつかったり、浅い所で動かなくなったりそう簡単ではないはず。まあ、ちょっと待って。これは算数の問題で理科の問題ではない。この点は目をつぶって我慢して下さい。つまり、
       川を上るときは、船の速さ=静水時の速さ-川の流れの速さ、
       川を下るときは、船の速さ=静水時の速さ+川の流れの速さ、
川下り
このことだけに気をつければ良いのです。、
【例題1】静水時に時速15kmで進む船が、川を36km上るのに3時間かかりました。 川の流れの速さは、時速何kmでしょう。
まず、速さとは。実際には平均の速さのこと。速さ×時間=距離。
これだけは覚(おぼ)えて下さい。距離はm、kmなどで表されます。一方、時間は時間、分、秒で表されます。だから、速さは距離÷時間、m/秒、km/時。単位も割算だ。本当は速さは後で示すけど、もうすこーしややこしい。
取りあえず問題をやって見よう。取りあえず分からないもの、川の流れの速さをx km/時としよう。すると単位をつけてあらわすと、
       (15 km/時-x km/時)×3時間=36 km
km/時×時間=kmだね。単位をとってもしまっても大丈夫かな。
       (15-x)×3=36
これが求める方程式。まず、両辺を3で割る。
       15-x=12、15-12=x、x=3
つまり、川の流れの速さは3km/時です。上流に向かえば船が遅くなり、下流に向かえば船は遅くなる。だけど、川の流れの速さが船の速さより速くなってしまったら、船は上流には進めないね。
さっき言った、速さの問題。あなたは自動車の補助席に座ったことがありますか。運転席の所に速度計があるのに気が付きましたか。車が走り始めると、速度計の目盛はだんだん大きくなりますね。0km/時→60km/時、高速道に入ると100km/時と変化するでしょう。これが本当の速さだね。だけど、船の速さを一定にしないとチョット問題が難しくなるでしょう。速さの変化の度合いを加速度と言いますが、これについては別のところで勉強しましょう。平均の速さは、進んだ距離÷かかった時間です。進んだ距離を短く取ればかかった時間も短くなります。進んだ距離をうんと小さくして→0とすると、かかった時間も→0となります。0÷0は、??。これが瞬間の速さです。
【例題2】ある船が川を8840m上るのに34分、下るのに26分かかりました。 この船の静水時の速さと、川の流れの速さは分速何mでしょう。
あれあれ。船の速さも、川の流れの速さも分からないの。
仕方がありません。各々をx m/分、y m/分としましょう。
       川を上る時は、x-y 【m/分】
       川を下る時は、x+y 【m/分】
船が動く距離は上りも下りも同じ8840mですね。式を作りましょう。
       (x-y)×34=8840
       (x+y)×26=8840
さあ、両辺を各々かかった時間で割算して下さい。割算を間違えないようにね。
       x-y=260…①
       x+y=340…②
この式、どこかで見たでしょう。そう、和差算だね。和が340で差が260だ。
       ②-①=2y=80→y=40、 ①+②=2x=600、x=300
船の速さが、300 m/分、川の流れの速さが40 m/分と出ました。これを①②に入れて検算して見るとあっているでしょう。未知数が2つある時はちょと迷いますが、和差算はもっとも簡単な場合。その次が鶴亀算か。

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算数の部屋

年齢算

年齢(ねんれい)算というのがあります。あなたが10才でお母さんが30才とすると、お母さんの歳(とし)はあなたの3倍。でも、差はいつも20歳で変わりません。お母さんが100歳になったら、あなたは80歳。何時だって20歳年上ですね。方程式が作れれば超簡単だ。
【問題1】
12才のコウタ君は三人兄弟の長男で10才と8才の弟がいます。いま、コウタ君のお母さんは40才です。兄弟3人の年齢の合計がお母さんの年齢と同じになるのは何年後でしょうか?
解答;
x年後しましょう。お母さんは毎年1歳づつ年を取ります。兄弟3人の年齢の合計は3人ですから、毎年3つずつ増えますね。
いまは、12+10+8=30、まだ10才足らないね。方程式作れるかな。
30+3x=40+x、xを左に数字を右に持ってきて、
3x-x=40-30、 2x=10、x=5、つまり5年後だね。    答5年後
検算;兄弟達12+10+8+3×5=45、お母さん40+5=45、同じだね。

【問題2】
ワカバさんのお母さんの年令はワカバさんの年令の5倍ですが、7年後にはこれが3倍になります。今のわかばさんの年令を求めなさい。
解答;
今のワカバさんの年令をxとしてしまおう。今のお母さんの年齢は5xだ。7年後は2人とも7歳年取るね。等式(=)を考えて、左をお母さん。右をワカバさんとするよ。
5x+7=3(x+7)、 5x-3x=21-7、2x=14、x=7    答7歳
検算して見よう。ワカバさんは今7歳。お母さんは35歳。7年後はワカバさんは14歳。お母さんは35+7=42歳。14×3=42だからいいね。

文章題へのチャレンジ
算数の部屋

仕事算

君が草刈りの仕事をするとしよう。3日で全部草を刈り終わる。花子さんがやれば、2日で出来る。どちらの仕事が速いかな。3と2では、3の方が大きいね。でも、君の方が仕事が遅いのはすぐわかるよね。この場合は、2とか3とかの日数は、仕事の速さでなく、仕事の遅さだね。でも長さ5mと6mでは当然、数の大きな6mが長い。だから、仕事も遅さで比べるのでなく速さを使う必要がある。遅さをひっくり返すと速さ。大きさをひっくり返すと小ささか。
すると、君の草刈りの仕事の速さは、1/3(1/日)、花子さんは1/2(1/日)だね。では2人でやればどうなる。速さにすると足し算ができるね。
       1/3+1/2=2/6+3/6=5/6
だから、またひっくり返して遅さにもどすと、6/5日かかることになる。1+1/5日だね。
【問題1】
ある仕事をするのに、トンペイさんは10日、ゴンベイさんは15日かかる。2人で協力すると何日で終わらせることが出来るかな。
【問題2】
ある仕事をするのに、ライザさん1人で10日、ライザさんとサティさんの2人ですると6日かかります。サティさん1人ですると何日かかりますか。
【問題3】
ある牧草地の草をヤギが食べると12日、羊が食べると18日で食べつくす。はじめヤギと羊を6日間だけ放牧した後、残りはヤギだけ放牧すると牧草地は何日で食べつくされるか。
【問題4】
水を水槽に入れるのに、ポンプAでは12分、ポンプBでは15分、ポンプCでは20分かかる。ポンプA、B、C3台を一緒に使ったら水槽には何分で水が入りますか。
【問題5】
6人で1日8時間働いて10日かかる仕事がある。
(1)この仕事を1日8時間、10人で働くと何日で終わりますか。
(2)この仕事を12人で4日で終わらせるには、1人1日何時間働くことが必要でしょう。
仕事算(1)
問題3の絵による解説。方程式は使わない
仕事算(ヤギと羊)
問題3を方程式を使った。
仕事算(1)
仕事算(1)
仕事算(1)
【問題6】
ケーキ屋さんのアルバイト店員さんが5人で6時間働いて、合計27000円もらえました。 アルバイト店員さん4人で8時間働くと、合計いくらになるでしょう。ただし、時給はみんな同じです。
解答;この問題、仕事量が1ではなく、27000円とお金になっているところ今までと違います。だから今までの仕事が速いということをお金が稼(かせ)げるということに読み替(か)えればいいんです。
まず、一人が1時間働いたらいくらもらえるか調べます。分解できる最小単位ですね。
27000÷5÷6=900円、これを時間単価と言います。単位は900円/時・人です。
4人で8時間。もう簡単ですね。900×4×8=28800円です。答28800円

文章題へのチャレンジ
算数の部屋

計って見よう

大きな動物、高い山、長い川、暑い日、たくさんの水、冷たい水、
英語でやって見ましょう。big animal, high mountain, long river, hot day, much water, cold water
このホームページは算数の部屋でも国語も、英語も、理科も何でもありですよ。英語の苦手な人は飛ばして読んでね。ここで並べた言葉は程度を表す言葉、だから算数と結びつけるには、どの位を示さないといけません。500kgの動物、1000mの山、10kmの川、40度の暑い日、100リットルの水、氷水(0℃のこと)と言うように具体的に示すと良く分かるでしょう。でも、親切な人、意地悪なおじいさん、きれいな花なんかは、数字で表せないですね。数字で表すことができるものは、その大きさを計ることが出来ないといけませんね。100倍いじわるなんて、どうやっていじわる度を計るんだろうね。なお、これは国語の問題だけど、「はかる」には、図る、計る、測る、量る、謀るなんて沢山の漢字があるけど、どう使い分けたらいいんだろうね。
意地悪なおばあさん

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算数の部屋

長さ

1000mの山、10kmの川、2mmのアリ、5mの深さの穴。これらは長さのことですね。数字を出さなくても、具体的なものを挙げれば、長さは分かりますね。東京から大阪までの距離、富士山と同じ高さなど。長さは、距離とか寸法とか、深さ、高さなどとも呼ばれることもありますね。
長さを表すには、単位も大事ですね。長さ10の川では何のことか不明ですね。長さの単位にはどんなものがありますか。
1mm(ミリメートル)、1cm(センチメートル)=10mm、1m(メートル)=100cm、1km(キロメートル)=1000m
世界標準では、mが基本だ。ミリは1/1000、センチは1/100、キロは×1000という意味だ。メートルだけでは、消しゴムなどの小さなものを計るのに不便だね。0.035mなんて感じ悪いでしょ。普通は35mmだね。3.5cmでは少数が出てしまうね。単位はどれを使ってもかまわないが、単位の変換が自由にできるようにしよう。
でも、いちいち色々な単位を使い分けるのは面倒なので、メートル一本槍(やり)の方を好む人たちもいるのだ。例えば、10-28mとか1025mとかね。10の上についた小さな数字を指数と言うのだったね。1を28回10で割った数、1に10を25回掛(か)けた数の意味だね。
長さを計るには普通、物差し、巻尺、定規等を使うね。太陽や星までの距離等は特別な方法が必要だし、特別な単位が必要だ。また、細菌やもっと小さい原子の大きさも特別な単位を使うことが多い。図-1のようにグジャグジャ曲がった線の長さを計るのは大変そうだ。
フラクタル図-1.フラクタル

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面積と体積

長さと言うなら、「広さ」と「大きさ」にした方がいいみたい。でも普通は長さ、面積、体積とセットにするようだね。英語では、length, area ,volume(レングス、エリア、ヴォリューム)だが、カタカナでの発音は要注意だ。できるだけ早く英語の発音になれた方が便利だ。
面積を計るのは計算が必要なことが多く、簡単には求まらない。体積の方はもっと難しいはずなのだけど、水みたいな液体なら計量カップを使うことができるね。それと水にぬらしていい物ならお風呂(ふろ)のような水槽(すいそう)にどっぷりつけて、あふれた水の量を計ることもできるね。
面積は紙の上ならまだ簡単だけど、地球儀のように曲面(まがった面)や、自動車や飛行機などの表面積(ひょうめんせき)なんか計算も大変だね。塗装(とそう;ペンキなどぬること)の時にはペンキの量をあらかじめ計算して発注しないといけないしね。また、図-2の紙テープを1回捩(ね)じったメビウスの輪(わ)の面積は、元のテープの面積の2倍になるね。表と裏が繋(つな)がっているから。
メビウスの輪 メビウスの輪 メビウスの輪図-2.メビウスの輪
面積や体積の単位も覚(おぼ)えておいて欲(ほ)しい。1辺が1mの正方形の面積を1m2と書いて1平方メートルと呼ぶ。1辺が1mの立方体の体積を1m3と書いて1立方メートルと呼びます。
mの上に書いてある2とか3の小さな字、これは数字のときの指数と同じなのだ。つまり、
1m×1m=1m2および1m×1m×1m=1m3
つまり、単位も掛け算や割り算の対象になることが大切。だから算数の応用問題では単位がとても大切なわけ。単位が間違っていたら数字があっていても0点なのは仕方がない。他の単位も見てみよう。まずは、面積から
1cm×1cm=1cm2、1m=100cmだから、
1m×1m=100cm×100cm=10000 cm2=104 cm2→1万平方センチだね
1km×1km=1000m×1000m=106 m2→百万平方メートルだ。
他にアールとかヘクタールという補助(ほじょ)単位も使われることがあります。
10m×10m=100 m2=1a(アール)
100m×100m=10000 m2=1ha(ヘクタール) =100a(アール)
アールなんて単位があるのだね。
次は、体積だ。容積とか「かさ」ということもある。物の大きさだ。
1m×1m×1m=1m3(1立方メートル)
1cm×1cm×1cm=1cm3(1立方センチメートル)
1m=100cmだから100cm×100cm×100cm=1000000cm3=106 cm3
1m3は、1cm3の百万倍だ。となると中間の単位が欲しくなるでしょう。
10cm×10cm×10cm=1000cm3=1 ?(リットル)
1cm3のことを1ccなんて呼ぶよ。cubic centimeterの略です。立方センチメートルを英語で言ったのです。デシリットルは1リットルの1/10。つまり、
1 リットル=10デシリットル=1000ccだね。パソコンでリットルを出そうとするとl(エル)となるので本当の1と区別がつきにくいのです。

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面積の計算

面積の計算を少し説明します。図-3を見てください。
面積の計算図-3.面積の計算
長方形ABCDの面積は
たて×よこ=5cm×3cm=15cm2です。
では、平行四辺形EBCEの面積は、底辺×高さ。では、三角形は、平行四辺形の半分だね。つまり、
三角形の面積=(1/2)×底辺×高さ
となります。底辺とは長さの分かっている辺ならどれでも良く、それに垂直に高さを取る。複雑な多角形も三角形に分割して面積を求めます。

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重さ

重さなら簡単ですか。重さの単位はkgが基本かな。でも実際はちがうのです。話はそう簡単ではありません。あなたの体重が30kgとしましょう。30kgとは、あなたが地球上のどこかの場所で秤(はかり)で計ったものでしょう。でも、あなたが宇宙飛行士になって宇宙船の中で秤の上に乗りました。宇宙空間では無重力ですから秤のメモリはゼロです。ではあなたの体重は宇宙空間ではなくなってしまったのでしょうか。あなたの友達100kgのリキシ君が宇宙船の中であなたとぶつかりました。ドーン。あなたはキット強烈に弾(はじ)き飛ばされますね。あなたが月に着陸して月で体重を計ると月の引力は地球の1/6なのであなたの体重は5kgになってしまいます。
無重力無重力
あなたが持っている固有の塊の量を質量と言います。体重とは地球の引力があなたを引張る力なのです。でも普通は、物の重さは地球の上で測るのでkgを使ってもかまいません。正式にはkg重として書くべきなのですが、あなたの質量が30kgと考えれば問題はありません。でも、あなたに働いている下向きの地球の引っ張る力は本当は、ニュートンという単位で表します。つまり、
30kg重=30kg×9.8m/s2=294Nとなるのです。ここでNはニュートンという力の単位です。9.8m/s2は重力加速度という量なのですが、少し難しいので説明は後程(のちほど)としましょう。でも、月の上では重力加速度は地球の1/6になりますし、宇宙船の中では多分0でしょう。このそのうち種明(たねあ)かしをしたいとは思っていますが。小中学校の段階では重さと言ってもかまわないでしょうが、本当は質量と言うべきなのです。さて、重さ(質量)の単位はそんなに難しくない。世界標準ではkgが基本。
1kg=1000g、1トン=1000kg

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温度

水が沸騰(ふっとう)する温度は100℃、水が氷(こお)る温度は0℃。40℃の夏の日の温度は、20℃の2倍ですか。100kgは50kgの2倍は正しい。でも、40℃は決して20℃の2倍ではない。温度にはマイナスの温度があるけれど、長さや重さにはマイナスは無いですね。温度は高い方には上限はないようです。太陽の表面温度は6000℃、宇宙には太陽よりもずっと温度の高い恒星もあるようです。でも、低い方の温度は下限があるようです。どんなに頑張ってもこれより冷たくならない。科学者たちは、この温度を改めて0と決めて、そこから温度を測ることにしました。これを絶対温度と言います。-273℃を改めて、0Kとしてこれを絶対温度とすると立派な温度のメモリが出来上がります。氷が氷(こお)るのは273K、沸騰は373Kです。しかし、気体の実験から、絶対温度T、体積V、圧力pにはpV/T=一定;という関係があることが分かってきました。図-5には気体の温度と体積の関係を示します。これによると-273℃では体積が0になりそれ以下の温度は無いことが分かります。実際には気体が絶対温度に近づくと、どこかで液体や固体に変わっていしまうので体積が0付近の減少の解明は簡単ではないようです。でも。絶対温度なら、400Kは200Kの2倍ということは正しい表現となります。温度という量は、長さや重さと違って結構ややこしい性質があるようですね。
温度と体積図-5.気体の体積と温度

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速度

速さのことだね。車の助手席に座って運転席のメータを見たことありますか。メータが時速60km/h等と表示されますね。車が加速すると速度計がぐんと上がりあなたの体は助手席に押しつけられるでしょう。これが瞬間の速さといるある意味で本当の速さです。
ある女の人がスピード違反でおまわりさんにつかましました。おまわりさん「あなたは時速80kmで運転していましたね。」。女の人、「時速80kmですって。私まだ車に乗ってから10分しかたってないんですよ。1時間も運転していませんよ。」。この話どこがおかしいか分かりますか。時速80kmとは、そのもしそのスピードで運転を続ければ1時間で80km先まで行ってしまうよという意味。おまわりさんが見たその瞬間の速度が時速80kmだったので1時間運転する必要な全くないのは分かりますね。
一方、速さ=進んだ距離÷走った時間として計算される。これは本当は平均の速さというものです。算数の応用問題ではほとんどこれですね。実際、長い距離をほぼ一定の速さで走る場合は、この考えで充分かも。出発時の加速と停止時の減速時を除けば、後の速度は一定としても大きな誤差は無いでしょう。
速度の単位は距離÷時間で割算だ。だから速度に時間を掛(か)ければ距離になる。距離とは当然長さのことだね。
時速;km/h(キロメートル毎時)、m/h,分速;m/min、km/min、秒速;m/s(メートル毎秒)
平均速度は距離÷時間で割算だから、平均を取る時間を短くすると同時に進む距離も短くなる。時間を0にどんどん近づけると距離もどんどん小さくなる。距離÷時間は0÷0みたいですが

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時間と角度

時間と時刻の区別を明確にしよう。時間は時刻と時刻の間隔だね。時間を計るのは時計だ。距離は目で見えるけど、時間は目で見えないので感覚でとらえるのは結構難しいですね。時間の測定と角度の測定にはなぜか60進法が使われています。
1日=24時間、1時間=60分、1分=60秒
円周を一回転すると360度。直角は90度。180度は一直線。

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ピタゴラスの定理と無理数

ピタゴラス

ピタゴラスは、今から2,500年ぐらい前の古代ギリシアの数学者です。NHKのEテレにピタゴラスイッチなんてあるので名前ぐらいは、みなさんごぞんじですね。 ところで、みなさん直角をつくるにはどうすれば良いか知っていますか。校庭にドッチボールのコートをかくのにどうすればいいか分かりますか。
長いなわを用意して、同じ長さの部分を12個作ります。なわには結び目を入れて分かるようにしておきます。これを校庭にならべて、長さが、3、4、5の三角形をつくります。3と4にはさまれた部分が直角になります。この事実は古代のエジプトでも知られていて、ピラミッドの建設にも使われたとのことですよ。これをエジプトの神官から聞いて、ピタゴラスは、ピタゴラスの定理というものすごく有名な定理を発見します。数学の場合は証明したわけです。ピタゴラスの定理はどんな直角三角形でも例外なく成り立ちます。
     以下の説明を絵を見ながら考えて下さい。直角三角形の三つの辺の長さをa、b、cとし、aとb間の角が直角です。この時、a2+b2=c2が成り立ちます。a2はa×aのことです。 先ほどの、3、4、5の三角形でも、32+42=9+16=25=52となります。a2+b2=c2のような関係が成り立つ3つの数をピタゴラス数と呼びますが、実生活に役立つ簡単な例は、3、4、5の場合だけです。

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ピタゴラスの定理

無理数

次に簡単そうな問題です。一辺が1mの正方形があります。この面積は簡単ですね。面積は1m2です。それでは、この正方形の2倍の面積を持った正方形の1辺の長さはどうなるのでしょうか。半分の面積の場合はどうなりますか。折り紙とハサミがあれば、このような三角形は、図に示すようにすぐにつくれます。でも、その一辺の長さはどうなるのでしょうか。一辺の長さをx(まだわからないからね)とします。この時、直角三角形のピタゴラスの定理が役立ちます。
 12+12=x2、  x2=x×x=2
2の平方は、2×2=4です。4の平方根は2です。xの平方は、2です。でも、2の平方根は実は分数を使っても求まりません。この時、x=√2と表します。
     このように、分数で表すことの出来ない数を無理数と呼びます。反対に分数で表すことが出来る数を有理数と呼んでいます。√は今では、電卓を使えば簡単に求まります。でも、その時表示される値は、少数で表されており、近似値というものです。本当の値は少数で表すことは無理なのです。だから無理数と言うのでしょうかね。実際には数は、有理数よりも無理数の方がはるかに多いのですが、有理数の数は無限にあるので、その無限よりも大きい無限があるなんて不思議ですね。
     ところで、ピタゴラスさん、当時の人々は数に神秘的な力があるものと信じていた。ピタゴラス自身、どん数も分数まで使えば表すことが出来ると思ってましたので、無理数の存在が身近にあることを知ってビックリポン。弟子達には秘密にするように命じていたとか。そんなこと無理スーよね。

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無理数

集合算

みなさん、今日は集合について考えますよ。例えば、3年2組の生徒の集合、6年9組の女の子の集合、動物小学校の先生の集合等、いくらでも考えられますね。この時、集合の構成員一人一人を要素(ようそ)と言います。集合については、ベン図という便利な物があります。イギリスのベンさんという数学者が考えたからベン図です。まず、下の絵を見て下さい。左側の絵では、四角いワクに丸が2つかいてあります。
ベン図
     例題を考えます。進君のクラス3年2組の生徒の集合を考えます。生徒の数は38人、これを四角いワク全体としてCと表します。すると、Cの要素の数は、n(C)=38です。n( )は、要素の数を表します。次に、Aは自分の国語辞典をもっている生徒、Bは自分の漢字辞典をもっている生徒を表しています。n(A)=15、n(B)=12です。四角いワクから丸二つをのぞいた部分(黄色い部分)は、国語辞典も漢字辞典もどちらももっていない生徒の数です。どちらも持ってない生徒Dの数は、
38-(15+12)=11、11人とするのは誤りだと分かりますね。だって、国語辞典も漢字辞典もどちらももっている生徒の数を重複して数えてますね。両方持っている生徒は集合算のルールでは、A∩Bであらわし、積(セキ)集合と呼びます。帽子みたいなのでハットと呼ぶこともあります。そこで、n(A∩B)=6としましょう。
また、国語辞典か漢字辞典のどちらか、あるいは両方持っている生徒の集合をA∪Bで表します。A∪Bのことを和(わ)集合、またはコップみたいなのでカップと呼ぶこともあります。
       n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=15+12-6=21
これで、AとBからダブりの部分を引いた二つ丸の数が求まりました。後は、四角い部分から丸二つをのぞいた残りがもとまります。つまり、
       n(D)=n(C)-n(A∪B)=38-21=17
なお、下のの絵のように、集合BがAにスッポリ含まれてしまう時は、記号でB⊂Aのように表します。絵を見れば分かることを記号を使って表して見るともっと良く分かるようになる。面白いですね。以下、記号は覚えておくとベンり。
ベン図
∪;カップ(和集合)、足し算みたい。n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
∩;ハット(積集合)
;補集合;D=( A∪B) 、全体からcがついた部分を除いた集合。
a∈A; 要素aは集合Aに含まれる。例えば、ペンギン∈鳥の集合

ソロリ・シンザエモン

みなさん、曽呂利 新左衛門(そろり しんざえもん)という人知っていますか。豊臣秀吉(とよとみひでよし)に御伽衆(おとぎしゅう)として仕えたといわれる人で、落語家の始祖とも言われ、ユーモラスな頓知(とんち)で人を笑わせる数々の逸話(いつわ)を残した人です。元々、堺(さかい)で刀の鞘(さや)を作っていて、その鞘には刀がそろりと合うのでこの名がついたといわれています。架空の人物と言う説や、実在したが逸話は後世の創作という説もある。西洋でも道化などといっていつも王さまのそばにいて笑わせたりすることを仕事にしている人いますね。
逸話1
秀吉が、猿(さる)に自分の顔(かお)が似ている事を嘆(なげ)くと、「猿の方が殿下を慕(した)って似(に)せたのです」と言って笑わせた。
逸話2
ある時、秀吉が望みのものをやろうというと、口を秀吉の耳に寄せた。諸侯は陰口をきかれたかと心落ち着かず、新左衛門に山のような贈物(おくりもの)を届けたという。
逸話3 秀吉から褒美(ほうび)をやるが、何を希望するかたずねられた新左衛門は、今日は米1粒、明日は倍の2粒、その翌日には更に倍の4粒と、日ごとに倍の量の米を100日間もらう事を希望した。米粒なら大した事はないと思った秀吉は簡単に承諾したが、日ごとに倍ずつ増やして行くと100日後には膨大な量になる事に途中で気づき、他の褒美に変えてもらった。
さて、米粒の量は100日目にはどの位になるのでしょう。4日目は8粒、5日目は16粒、……、2×2×…2×2=?。2を100回掛(か)ければ良いのですね。関数機能のついた電卓があればすぐできます。2100=1.27×1030です。ここで2とか10の右上についた小さい数字の100とか30がとても大事だ。これを指数という。とても大きな数や小さな数を表すのに便利で欠かせない表記だよ。米粒の数は127の後にゼロが28個もつく大きな数だ。米粒の重さってどの位かな。 とりあえず、0.01gとしよう。0.01g=10-2g=10-5kg=10-8トン
マイナスの指数と言うことは、逆に割って行くんだ。10-2=1÷10÷10だね。
10-8トン/粒×1.27×1030g=10-8トン/粒×1.27×1024トン=1.27×1016トン
1億トンが108トンだからその1億倍だ。世界中のコメを集めても未だ足らない。指数計算恐(おそ)るべしだ。次に簡単な法則を示します。
10a×10=10a+b、10a÷10=10a-b、簡単でしょう。指数だけ足したり引いたりすればいいだけさ。だから数学のできる大人は大きな数を見ても全然驚(おどろ)かないのです。

算数の部屋

無限を数える

1,2,3,4……、このような数を自然数と言います。自然数の数は無限にあります。偶数の数と自然数の数はどちらが多い。どの自然数も2倍すれば偶数になり、どの偶数も半分にすれば自然数になります。つまり、自然数と一対一の対応がつく無限はどちらも同じと考えられるのです。自然数=偶数+奇数ですが、偶数も奇数も自然数と同じ無限です。このような無限を可算無限(かさんむげん)と言います。取りあえず番号を付けて途中までは数えることができるという意味。分数や循環小数全体も可算無限です。可算無限より大きな無限に連続体の無限があります。もっと大きな無限があるかって。これはもっと勉強しないと分かりません。
     「線とは点が集まったもの」と言っておきながら、「点とは位置だけを示し大きさがないもの」とも言われることがあります。でも、大きさの無い点をいくら集めても長さは0で、線分は生まれません。例えば、長さ1の線分に、分数で1/2、1/3、97/99……と点をつけて行ってもすきまだらけなのです。ここに無理数(√やπ)を全部加えて初めて連続体の無限が出来上がります。連続体はベターと続いていて、1個、2個と数えることは不可能です。

算数の部屋

球の体積と表面積

円周と直径の比はπ(3.14…)で無理数。誰でも知っている関係。でも、これを証明するためには相当長い歴史が必要でした。でも、これが分かれば円周の長さ、円の面積、球の表面積、球の体積が求められるようになりました。つまり、円(または球)の半径をrとすると、
     ①円周l=2πr
     ②円の面積s=πr2
     ③球の表面積S=4πr2
     ④球の体積V=(4/3)πr3
この4式は、中学高校での必須暗記事項でしょう。でもどうしてこうなるのかと聞かれると結構説明に困ります。
 まず、①→②、③→④は、図のように簡単。円を細長い扇形に切り分けて並べると高さが半径r、底辺は全部で円周分2πr。s=(1/2)×2πr×r=πr2
と求められます。一方、球は細長い無限個の錐体の集まり。錐体の体積は(1/3)×底面積×高さです。すなわち
V=∑(1/3)△s・r=(1/3) (∑△s)r=(1/3)4πr2r=(4/3)πr3
となります。これらは、
ds/dr=d(πr2)/dr=2πr=l
dV/dr=d((4/3)πr3)/dr=4πr2=S
の関係になっています。つまり、平面図形で面積を微分すると周長。立体で体積を微分すると表面積になっています。
とはいえ、③及び④は積分を使って求めるのが普通です。結局一番難しいのはπを求めることのようです。実際にはどの電卓にも数値は入ってますが、どのようにして求めたのでしょうか。
円と球の表面積 ∫計算

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ガリレオの冒険(ぼうけん)

 みなさんは、ガリレオ・ガリレイという人を知っていますか。1564年生まれのイタリアの人です。今から400年以上も前の人ですね。科学の歴史(れきし)では色々活躍(かつやく)しましたよね。どんなことをしたのか分かりますか。
1.ピサの斜塔(しゃとう)から2つの重さが違うものを落として、同時に落ちることを確かめた。落下の法則を確かめたのです。これは公開(こうかい)実験ですから、おおぜいが見ている前で実験したのです。失敗(しっぱい)したくないですよね。その前に自分で何回もやって見たのでしょうね。このころは、重いものは速く落ち、軽いものはゆっくり落ちるのが常識(じょうしき)だとされていました。
2.振り子(ふりこ)の等時性(とうじせい)を発見した。これは振り子時計と言って、つい最近までこんな時計が使われていました。いまは、デジタルが多いけど。
3.ガリレオは、自分で望遠鏡(ぼうえんきょう)を作って色々なものを見て見ました。結構(けっこう)器用な人ですね。先に作った人がいてそれをまねしたのですがね。だいたい30倍ぐらいだったらしいです。そうしたら、月を見たら表面は凸凹だったり、木星にはその周りに4つの衛星が見えたりします。ガリレオが望遠鏡見せたところ、多くの学者たちは木の葉や建物が大きく見えることには感激(かんげき)してくれましたが、月を見た途端(とたん)、この望遠鏡はニセモノだと言って信用してもらえませんでした。当時の人達は、月は神様が作ったものなので、月の表面もつるつるのものだと信じ込んでいたのです。
4.ガリレオだけは、望遠鏡で見た世界の方を信じて地動説を唱(とな)えるようになります。その当時は、太陽が地球の周りを回っているという天動説が主流(しゅりゅう)でした。でも、この当時、木星や火星等の惑星(わくせい)は、太陽の周りを回っていることは想定(そうてい)されていたのです。というのは、普通の星は観測していると地球の周りを回っているのですが、惑星だけは時々反対に回ることが分かっていたからです。だから惑星と言うのです。惑星の惑は「まよう」という意味。ガリレオは地球も惑星の一つと考えたのです。ガリレオは、宗教裁判にかけられ、教会から地動説を取り下げるように要求されます。「それでも、地球は回っている。」とつぶやいたとかは伝説になっていますね。

算数の部屋

落下の法則を調べて見よう

 自由研究として、落下の法則を調べて見ましょう。10円玉と1円玉をいっしょにおとしたらどちらが先に落ちるでしょう。落ちる時間を計(はか)ってみましょう。どうですか、背の高さくらいでは、早すぎて時間が測れないですね。ガリレオも困(こま)りました。なにせ、当時は今みたいな正確な時計はどこにもなかったからです。水時計とかロウソク時計とか、想像できますか。そこで、斜面を使うことを考えました。平らな板を斜めにしたもの。
消しゴムを斜面に置いて見ます。止まったままですね。摩擦(まさつ)が大きいためですね。ビー玉を転(ころ)がしてみましょう。ビー玉は止まるどころか、だんだん速くなりますね。緩(ゆる)やかな斜面で実験して、だんだん斜面を急にしていけば、斜面が垂直になった時、自由落下(単純に落とした時)と同じになりますね。
さあ、実験開始です。斜面を進んだ距離とかかった時間の関係を調べます。使う道具は時計を物差しだけです。色々とやって見て次のことが分かりました。
転がる時間が、2倍、3倍、…となると、進む距離は4倍、9倍、…となっているように見えます。実験は下図のような斜面で行いました。1m落下する毎(ごと)に斜面では10m落下することになります。実験結果は、グラフと表に示されるようになりました。実際の自由落下は、この10倍の速さになりそうです。
落下実験
 距離をx(m)、時間をt(秒)として、 x=a t2…(1) とおいてみると、どの時間でも a=x/(t×t)=0.49m/sec2となります。
このグラフでは、玉の速さについては何か分かるでしょうか。普通、小学校では平均の速さしか扱いません。つまり、速さ=進んだ距離/かかった時間です。でも、速さは、時間に比例?して速くなります。つまり、瞬間の速さが必要です。
v=2a t…(2)として見て下さい。図に計算結果を入れています。図では、速さはちょうど接線の傾きで表されます。また、2aを加速度と言います。加速度は速度の変化の割合を表します。ここでは、加速度は時間にかかわらず一定です。落下運動は、等加速度運動となります。
実際の落下運動は斜面の場合の10倍の速さですから、(1)式は
      x=9.8t2…(3)
g=9.8m/秒2は重力加速度という定数で、ニュートンの万有引力の法則から導(みちび)かれる量です。
落下の法則によると、重い物も軽いものも同時に落ちることが分かりました。また、落下距離が大きくなると落下速度もそれにつれて大きくなることも分かりました。でも、これはあくまでも空気の抵抗(ていこう)や斜面(しゃめん)の摩擦(まさつ)が無視できる程度に小さい場合の話で、何時もこうなるとは限らないことに注意して下さい。空気の抵抗が無ければ雨粒(あめつぶ)は高速で落下してきて危(あぶ)なくて外を歩けません。空から高速で落ちてくる隕石はたいていは空気との摩擦で発熱し燃(も)え尽(つ)きてしまって地上に届く(とどく)ことはまれです。

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ようこそ幾何(きか)の世界へ

幾何学は、古代ギリシャで発展して、考える力をつける大変有力な手段として世界中で学ばれるようになりました。日本でも戦前は代数(だいすう)と並んで幾何は大変重要な科目でしたが、戦後経済の高度成長に伴って考える力を軽んじる傾向が出て来て日本の小中学校ではあまり重要(じゅうようし)視されて来ませんでした。最近、文部省も「考える学習」が大事だなんて言っていますが、勉強なんてもともとは正しい考えを養うための手段ですから、昔から心ある人は考える学習をして来ているのです。
落書き
でも、幾何は、子供たちはみんな大好きです。出で来るのは円や三角形等の簡単な形で、教科書も絵が一杯で、難しい計算も全く出て来ません。楽して考える力がつく。こんな楽しい勉強をしない手はありません。はじめは、やさしいことばかりで、絵を見れば分かるだろうなんて思っていても気がついたら、気がついたら結構「???」マークが一杯ということになっていると思います。

ユークリッド肖像ユークリド;幾何学を取りまとめ集大成した人

算数の部屋

【目次】
目次
1【まずは直線から】 【2角度】 3【三角形の辺や角の大小】 4【平行】
5【三角形の内角の和】 6【円】 7【三角形の合同】 8【二等辺三角形と正三角形】
9【円周角】

ようこそ幾何の世界へ

【まずは直線から】

図にかかれた線ABは、直線です。直線は、Aの方向(左)へも、B方向(右)へもどこまでも延ばすことができます。頭の中で考えているので宇宙の果(は)てまで伸(の)ばすことだってできるのです。ここで、ABを線分と呼びます。直線の一部と言う訳(わけ)です。線分の長さもABと表すんだ。
直線
でも、そもそも直線とは何だ。その前に線とは。幾何で扱(あつか)う線には太さはありません。もちろん色もついていません。太さもないのにどうやって色つけられるんだ。
平面上に点Aと点Bがある時、AとBを結ぶ最短の長さの線を直線としましょう(直線の定義)。ひもで例えればぴんと張った状態だね。
2つ目の図に、三角形が見えるね。三角形は3つの頂点を順番に並べて△ABCと表すんだ。
3つの頂点の順番はどうでもいいね。△ABC=△ACB=△CAB=…
どれも同じ三角形だから、算数と同じでイコールマーク「=」で結ぼう。形も大きさも一緒だ。形も大きさも一緒というのを幾何では合同という。
先に述べた、直線の定義から、
AC+CB>AB…①
2点AとBを結ぶ一番短い長さが直線だ。A→C→Bと途中で寄り道すれば当然距離は長くなる。 記号「>」は、不等号というね。「=」は等号です。等号は、等号の左辺と右辺が等しいということ。例えば、A=A。A+B>A、AにBを加えるとAより大きくなるね。Bが負の数(-3)なんかだと、この不等号は成り立たないけど、幾何の場合は心配ない。マイナスの長さなんて考えないから。
と言う訳で、①は、大変重要な定理を示しています。
「総(すべ)ての三角形において、二辺の長さの和は、他の一辺の長さよりも大きい。」
三角形において、二辺の長さの和は、他の一辺の長さよりも大きい。
この定理は、三角不等式と呼ばれる有名な定理でこれからもどこかでしょっちゅう出て来るでしょう。
ここで、先頭についている言葉「総ての」は、不要です。幾何で学ぶ定理はどれも「総ての」が暗黙(あんもく)のうちに含まれているのです。例外を一切許(ゆる)さないのです。例えば、「総ての哺乳類は卵を産まない。」という文は、実は「カモノハシ」という動物は例外的に卵を産むことが分かったので、あやまりとなります。西洋では幾何学は科学の王様と言われていたのは、幾何学の推論の進め方が他の科学の模範(もはん)とされたからにほかなりません。

ようこそ幾何の世界へ


【角度】


直線が2本あれば、たいていはどこかで交わります。交わらないこともあって、これらの2直線を互いに平行と言います。直線が交わればそこに角度が生じます。線分には長さがあるように、角度にも大きさがあります。角度は、交点と2つの直線上の任意の点を使って、∠AOBのように表します。では、この図で∠AOBと∠DO’Cではどちらが大きいのでしょうか。O’をOに、直線O’Cを直線OBに重ねます。なお、CとBの位置は任意(てきとう)に取っているので重ならないことに注意して下さい。すると、その下の図から、
角度
∠DOC=∠AOB+∠DOA>∠AOBから∠DO’Cのほうが∠AOBより大きいことが分かります。(OとO'は同じ点だ)
また、その右の図では、直線ADと直線BCが点Oで交わっています。
その時、∠AOB=∠COD、∠AOC=∠BODとなります。これらを互いに対頂角の関係と言います。そこで、これも定理として
対頂角は互いに合い等しい。」と表現します。

特別な角度として、直角と平角があります。いま、円周の上に点Pがあります。このPが時計と反対の方向に回って、Qの位置に来たとします。すると、ここに、 ∠PQR=∠θが生じます。θ(しーた)は、ギリシャ語、数学では良く角度を表す時に使います。皆さんも知っている通り、角度を表す時は度(°)という単位を使います。θは最初は0度です。QがAまでやってくるとθ=90°、これを直角と言って、∠Rと表します。さらにQが回転して行きBまで来ると、θ=180°、これを2直角または平角と言って、2∠Rと表現します。更にCまで来るとθ=270°、Dまで来ると1週回ってθ=360°、4∠Rです。平角とは∠DOBでDとOとBが一直線の関係にあります。
直角
ようこそ幾何の世界へ


【三角形の辺や角の大小】】

下の図を見て下さい。上は、丁度(ちょうど)蝶々(ちょうちょ)見たい。でも蝶々は羽根が4枚。リボンみたいか。
三角形
【定理】:2つの線分ABとCDが交わっている時、→AB+CD>AC+BD ( 上の図のチョウチョの形の絵をを見てね)
証明:定理は必ず証明します。どうやって証明するか考えるのが幾何の勉強なんです。
AB+CD=AO+OB+CO+ODは図を見れば明らかでしょう。そこで、先に述べた三角不等式を使うんです。覚(おぼ)えていますか。三角形の2辺の和は他の一辺よりも大きい(長い)。そう、2点を結ぶ最短の道のりは2点を結ぶ直線です。だから、図を見て
AO+CO>AC、BO+DO>BD、この2つの不等式を足して見よう。大きいもの同志、小さいもの同志を足し合わせれば、不等号の向きは変わらないね。
AO+CO+BO+DO>AC+BD
AO+BO=AB、CO+DO=CDだから、AB+CD>AC+BD
これで、証明終わりです。同じようにすれば、AB+CD>AD+CBも言えるね。
別の表現をして見よう。図形ACBDを4角形とみると、4角形の対角線の長さの和は、向かい合った辺の長さの和よりも大きい。
【定理】:点Oが△ABCの内部にある時、→AB+AC>OB+OC (下の方の絵。三角形の中に三角形がある。)
証明:三角不等式を使いたいですね。例えば、AB+AC>BCとなることは分かります。O点は△ABCの内部にあるので、BOを延長して、ACとの交点をDとしましょう。すると、
三角不等式が使えて、AB+AD>BD、またOD+DC>OC、ゆえに、AB+AC=AB+AD+DC>BD+DC=BO+OD+DC>OB+OC(証明終わり)
三角不等式が大活躍です。

一見、図を見れば明らかなように思えますが、いざ証明しようとすると結構大変でしょう。
【定理】:△ABCと△DEFにおいて、AB=DE、AC=DFとします。この時、∠A<∠Dならば、→BC<EF
角と辺
角と辺
証明:大きな∠に対応する辺の方が大きいということですね。この場合図を描くと次の3つの場合に分かれるので、チョト面倒です。図-1では、点Cが△DEFの外側にあります。上でやったリボンの形だ。「4角形の対角線の長さの和は、向かい合った辺の長さの和よりも大きい。」という定理があったね。定理を覚えたらどんどん使っていけるの幾何の面白さだ。ABとDEを重ねた図を参考にして、DF+BC<AC+EF、またACとDFが等しいと仮定しているので、不等式から等しいものを両辺から取り除いて、BC<EF(図-1の場合の証明終わり) 図-2の場合は、Cが△DEFの内部にあります。これも上の定理が使えるね。 AC+BC<DF+EF、また仮定よりAC=DF、不等式から等しいものを両辺から取り除いて、BC<EF(図-2の場合の証明終わり) 図-3の場合は、Cが線分EFの中にあるのでBC<EFで自明です。(証明は不要) 従って、図-1,2,3のどの場合もBC<EFとなります。つまり、2辺が等しい三角形において、はさまれた角が大きい方が、対応する辺も大きくなることが分かります。
ようこそ幾何の世界へ

【平行】

平行な2直線は左右どちらに延ばしても互いに交わることはありません。下に2本の平行な直線を示します。直線は、ローマ字の小文字でl、m、nなどとして表します。この2本の直線と交わる別の直線を1本えがき、平行線との交点をA、Bとします。この時できる角度、∠CADと∠EBFは等しく、この関係を互いに同位角の関係にあると言います。また、∠GAEと∠EBFも互いに等しく、この関係を互いに錯角の関係にあると言います。錯角の「錯」は目の錯覚の錯と同じ字を使うんですね。また、∠DABと∠ABFの関係は同傍内角と言います。
錯角同位角錯角同位角
     ∠CAB+∠DBA=2∠R
もう一度、まとめますと
平行な2直線と交わる別の直線との間でできる同位角および錯角は互いにひとしい。」という定理が得られます。
次の図を見て下さい。「三角形の3つの角の合計は2∠Rになります。」、ところが同傍内角の和は2∠Rです。2本の平行線が、例えば右側で交わるとすると、線分ABと二本の平行線の交点をMで出来る△ABMで二つの角∠A(∠CAB)と∠B(∠ABD)の和は2∠Rですから、残りの∠Mは0になってしまいます。これは、2本の平行線は決して交わらないことを示しています。つまり、無限の彼方(かなた)で交わる→交わらない。ということです。
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【三角形の内角の和】

次の図を見て下さい。何の変哲(へんてつ)もない、ごく普通の三角形です。三角形を△ABCとします。三角形ですから3つの頂点がありますが、この3つの内角の和を求める問題です。内角とは三角形の内部に含まれる角で、∠ABC、∠ACB、∠BACの3つの和を求めれば良いことになります。一方、∠CADは点Aでの外角と呼ばれます。同じ点Aでの内角と外角の和は180°になります。
三角形の内角の和三角形の内角の和
ここで、AからBCに平行な直線を引きます。すると、先ほど説明した平行線の同位角及び錯角を思い出せば、
     ∠B=∠ABC=∠DAE (∵同位角)
     ∠C=∠ACB=∠EAC  (∵錯角)
ここで、記号「∵」は「なぜならば」と読みます。便利な記号でしょう。一方、「∴」は、故(ゆえ)にという意味だ。従(したが)って、
∠A+∠B+∠C=∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠BAC+∠EAC+∠DAE=∠BAD=2∠R
つまり、
「三角形の内角の和は二直角(180°)である。」
という関係が得られます。どんな三角形を持ってきても、その内角の和は180°ということが分かるというのはすごいことです。これを利用すれば、どんな多角形の内角の和も計算できます。次の図は7角形です。
7角形の内角の和7角形の内角の和
頂点がA~Gまであります。これを三角形の分割すると(7-2)=5個の三角形に分けられます。だから全部の内角の和は、180×5=900°になる訳です。∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=900°です。4角形なら三角形が2つだから360だね。
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【円】

円は幾何では、直線と並んで大変重要な役割を果たします。円は中心(下の図ではO)から等距離の点が集まって出来たものだ。下の円ではOP=OQ=OR=半径です。
円
幾何の勉強には作図というものがあります。作図で使える道具は、定規とコンパスだけ。定規は目盛が無いもので、三角定規のように角度が測れるものもだめです。コンパスは円を描(か)く以外に長さを移す時にも大活躍します。上の図の円の右にある直線を見て下さい。点Aから先ほどの円の半径で弧(円の一部を弧と呼びます。)を描きます。弧と直線の交点をBとすれば、ABの長さは円の半径と同じです。このようにコンパスを使って、線分を同じ長さで紙の上の適当な場所に自由に移すことが可能になります。円の各部分の名前は下の通りです。
円の各部名称円の各部名称

ところで、みなさんコンパスを選ぶときは慎重にね。グルッと回してスタートの点とゴールの点がピッタリと一致しないコンパスは不良品だ。また、回す時あまり強く押さないで下さい。中心がずれる原因になるから。
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【三角形の合同】


平面にかかれた図形は自由に動かして他の場所に移動できるはずです。平行に移動したり、裏返したり、回転したりできる訳(わけ)です。でも、ここでは三角形だけに注目します。下図のように2つの三角形、△ABCと△DEFがあるとします。どちらか一方、例えば△DEFを移動して(裏返しも含む)、もし△ABCにピタリと重なる時、この2つの三角形は合同であると言います。記号で書くと、△ABC≡△DEFとなります。「≡」は、形も面積も等しいことを表します。単に「=」と書くと面積だけが等しい意味になってしまうので注意して下さい。また、形だけが等しい場合、2つの三角形は相似であると言い、「∽」という記号を使います。拡大や縮小したコピーですね。
三角形の合同三角形の合同
ここで、合同な三角形を描(か)いてみましょう。コンパスと定規を用意します。定規で長さを計ってはいけません。△ABCと合同な三角形かきます。まず、底辺ABに対応する直線DEを薄(うす)くえがき、点Dを取ります。次に、コンパスでABと同じ長さを測り、Dを中心として弧(こ)を描き直線との交点をEとします。AB=DEとしたわけです。次に、Dを中心にACを半径とする弧を描き、同じようにEを中心にBCを半径とする弧を描きます。2つの弧の交点をFとします。こうすれば、AB=DE、AC=DF、BC=EFとなることが分かります。つまり対応する3つの辺の長さが各々等しいので2つの三角形は合同となります。
2つの三角形が合同となるのは次の3つの場合です。ぜひ覚えておいてください。
     ①対応する3つの辺が各々等しい。
     ②対応する2辺と挟(はさ)まれた角が各々等しい。
     ③対応する2つの角と挟まれた辺が等しい。
三辺、二辺挟角、二角挟辺の3つが合同となる条件です。
さて、△ABC≡△DEFとなる場合、辺と各には次の6つの関係が成り立ちますね。
AB=DE、BC=EF、CA=FD、∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠Fですね。
それでは、二つの三角形が合同かどうかを調べるにはこの6つを調べないとならないのでしょうか。そんなことはありません。6つのうちの3つが分かればいいのですが、合同となる条件は上の3つに限られます。また、角度については2つが分かれば残りの1つは決まってしまいます(どんな三角形でも3つの内角の和は180°だから)。

さて、まず図-1を見て下さい。△ABCと△DEFを重ねてありますが、ここで∠Bと∠E、∠Cと∠Fが等しいとします。三角形の内角の和は180°ですから、∠Aと∠Dも等しいですね。でも、辺の長さは異なります。BC<EFですね。三つの角が互いに等しければ形は同じですが、大きさは違います。このような2つの図形は、合同ではありませんが相似と呼ばれます。
相似三角形相似三角形

次に図-2を見て見ましょう。△ABCと△DEFで、AB=DE、AC=DFで、∠ABC=∠DEFです。
2つの辺と1つの角が等しいけど、△ABCと△DEFは合同ではないですね。EF<BCとなっており長さが異なっていますね。
合同でない例合同でない例

【定理】2辺夾角の合同定理
2辺とその挟む角が等しい三角形は合同である。
すなわち、図-3で、AB=DE、AC=DF、∠A=∠Dならば→△ABC≡△DEF
2辺夾角2辺夾角
証明:∠Aと∠Dを重ねると、AB=DE、AC=DFなので、BとE、CとFは同じ場所に来ますね。だから、BC=EF。つまり、完璧に重なり合同であることが分かります。なお、夾は挟(はさ)むという意味で同じ意味なのですが、夾を使う方が伝統的見たいです。どっちでもいいんだろうけど。

【定理】2角夾辺の合同定理
2つの角とその挟まれた辺が等しい三角形は合同である。
すなわち、これも図-3で∠B=∠E、∠C=∠F、BC=EFならば→△ABC≡△DEF
証明:BCにEFを重ねれば、長さが等しいのでピッタリ重なり、両端の角も重なる。ということは、角の延長のA点とD点は同じ点だ。直線の交点は一か所しかないからね。
だから、△ABC≡△DEFがいえる。
【定理】3つの辺がそれぞれ等しい三角形は合同である。
三辺三辺
三辺三辺
すなわち、図-5においてAB=DE、AC=DF、BC=EFならば→△ABC≡△DEF。
これは、コンパスを使って三角形を移す作業で分かるように、合同であることがすぐわかる。しかし、辺EFをBCに重ねても、他の2辺が重なることをすぐには出てこないのです。でも、∠Aと∠Dが等しいことが分かれば、2辺と夾角の問題になるので解決します。
3辺が互いに等しい三角形は実際には合同ですが、4辺が互いに等しい四角形は合同とはならないので注意して下さい。これは、図-4を見れば分かる通り、ABCD≠EFGHです。
証明:∠Aと∠Dが等しいこと言いたいのですが、このような時に用いる方法として背理(はいり)法というものがあります。まず、AB=DE、AC=DFであるにもかかわらず、
∠A≠∠Dとします。取りあえず、∠A<∠Dとすると角と辺の関係で調べたように、
BC<EF、つまり大きな角に対する辺は小さな角に対する辺よりも大きいと言う定理がありありました。逆に∠A>∠DとするとBC>EFとなります。
ところが、仮定ではBC=EFとしたんですね。これは、矛盾でしょう。だから∠A≠∠Dは間違いで∠A=∠Dとなることが分かります。(証明終わり)
【背理法】a=bを言いたい時に、もしa≠bと仮定したら矛盾する。だから、a=bという証明を背理法と言います。からめ手から攻める感じだね。
ようこそ幾何の世界へ

【二等辺三角形と正三角形】


三角形の中で、2辺の長さが等しいものを二等辺三角形と言います。もちろん三辺が等しい三角形も二等辺三角形ですが、この時は正三角形とも呼びます。つまり、
           正三角形⊂二等辺三角形⊂三角形
「⊂」の記号は、正三角形の集合は、二等辺三角形の集合に含まれ、二等辺三角形の集合は普通の三角形の集合に含まれるのです。正三角形は二等辺三角形の特別な場合と考えるのですね。ちょうど正方形は長方形の特別な場合と考えるのと同じです。
二等辺三角形二等辺三角形
上の図を見て下さい。△ABCで辺ABとACは長さが等しいです。この時、∠Aを二等辺三角形ABCの頂角と呼びます。また、辺BCを底辺、∠Bと∠Cを底角と呼びます。三角形の向きにはよりませんから、逆さまに置(お)いてBCが上になっても底辺ですよ。下にあっても頂角です。国語では船の底は下だし、山の頂上は上に決まっていますけど。
【定理】二等辺三角形の2つの底角は合い等しい。三角形を裏返(うらがえ)して見ればすぐ分かります。CBはBCに重なり、AC=ABですから。

亀の甲亀の甲
正三角形の模様
さて、円を半径で切っていくとちょうど6個の弧が取れ、これを中心を含めて結んでいくと、6個の正三角形ができます。正三角形とは3つの角と3つの辺がどれも等しい三角形です。正多角形というのは、同じように全部の辺と全部の角が皆等しい図形を言います。このような図形はいくらでも考えられ、正三角形、正四角形(正方形)、正五角形、正六角形、……とあります。上の図からは、正三角形が6つ集まると正六角形になることが分かります。作図した時の円弧(えんこ)も含めて色をつけていくときれいな模様ができますね。江戸時代よりももっと前からこのような模様は、使われて来ました。
ところで、正多角形のタイルを作ったとします。このようなタイルで床(平面)をすきまなく埋め尽くすことができるのは、正三角形、正方形、正六角形の場合だけ。チョット不思議な気もしますね。次に示す図は正五角形です。正五角形のタイルを作ってもすきまだらけで使い物になりませんね。正五角形を作図するのはチョット大変です。その方法はネットでも調べればすぐに分かりますが、幾何の勉強ではそれが本当に正五角形なのかを証明しないといけません。正多角形の作図は、辺の数が3、4、5の二倍、四倍なら可能ですが、そうでないと不可能な場合もあります。もちろん分度器を使えば解決しますが。正n角形(nは任意の数)でn→∞としたら、これは円ですね。
正五角形正五角形

ようこそ幾何の世界へ

【円周角】

円についての勉強です。そもそも円周角とは何でしょうか。まずは、下の絵を見てみましょう。
円周角とは円周角とは
まず、円の上にABという弦を取りましょう。すると円は弦で2つに分割(ぶんかつ)されて、2つの弧ができます。ここでは大きな側の孤の上に適当な点Pを取ってみます。ここでは、P1、P2、P3を適当な点としましょう。この時、∠APBを弦ABの円周角と言います。この円周角はPをA~Bの間のどこにとっても同じです。つまり、
       ∠AP1B=∠AP2B=∠AP3B=∠ABQ
最後の∠ABQは、弦BAと円の接線が作る角です。更に、この円周角は、対応する中心角の半分の大きさなのです。チョット不思議で便利な法則ですね。
そこで、下の図を基にこのことを証明しましょう。まず、その1は、たまたまPがAOの延長上にある場合。証明には円の半径は、どこで測っても同じを言うことをりようします。まず、△OPBは、OP=OB(円の半径)ですから、二等辺三角形。だから角はその底角は互いに等しい。つまり、∠OPB=∠OBP(☆印)、また、三角形の内角の和は、向かいある外角に等しいのでしたね。つまり、∠AOB=∠OPB+∠OBP=2∠APB(☆二つ)。 つまり、中心角は円周角の2倍です。円周角は中心角の半分ということが分かります。
円周角円周角
その2では、POを延長して、中心角を2つに分けると、上の結果を使って、証明できる。この場合、中心角は☆2つと□2つだね。本当は、P3の場合とか、PがBと重なった場合(弦と接線の角度)とか、適当な点を孤ABの反対側にとった場合も全部証明しないと本当に証明したことにはならないのです。だから、この段階では、証明ではなく、まだ説明の段階なのです。

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